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2019版一轮优化探究文数(苏教版)练*:第九章 第五节 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析

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一、填空题 1.直线 xsin θ+ycos θ=2+sin θ 与圆(x-1)2+y2=4 的位置关系是________. 解析:由于 d= |sin θ-2-sin θ| sin θ+cos θ
2 2

=2=r,

∴直线与圆相切. 答案:相切 2.过点(0,1)的直线与 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则|AB|的最小值为________. 解析:当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时,|AB|的最小值为 2 3. 答案:2 3 3.已知圆 C1:x2+y2-2mx+m2=4,圆 C2:x2+y2+2x-2my=8-m2(m>3),则 两圆的位置关系是________. 解析:将两圆方程分别化为标准式, 圆 C1:(x-m)2+y2=4, 圆 C2:(x+1)2+(y-m)2=9, 则|C1C2|= = ?m+1?2+m2 2×32+2×3+1=5=2+3,

2m2+2m+1>

∴两圆相离. 答案:相离 4.若直线 x-y=2 被圆(x-a)2+y2=4 所截得的弦长为 2 2,则实数 a 的值为 ________. 解析:圆心(a,0)到直线 x-y=2 的距离 d= ∴a=0 或 4. 答案:0 或 4 5.在*面直角坐标系 xOy 中,设直线 l:kx-y+1=0 与圆 C:x2+y2=4 相交于 |a-2| |a-2| 2 ,则( 2)2+( ) =22, 2 2

A、B 两点,以 OA、OB 为邻边作*行四边形 OAMB,若点 M 在圆 C 上,则实 数 k=________. ? ?y=kx+1, 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? 消去 y 得, (1+k2)x2+2kx-3 2 2 ? ?x +y =4. 2k 2 2k 2 =0,∴x1+x2=- ,y1+y2= ,∴M(- , ),又 M 在 x2+y2=4 2 2 2 2 1+k 1+k 1+k 1+k 上,代入得 k=0. 答案:0 6.设 O 为坐标原点,C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆上有一点 M(x,y)满足 → → y OM· CM=0,则x=________. → → 解析:∵OM· CM=0, ∴OM⊥CM,∴OM 是圆的切线. 设 OM 的方程为 y=kx, 由 |2k| k2+1 y = 3,得 k=± 3,即x=± 3.

答案: 3或- 3 7.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的 取值范围为________. 解析:圆方程可化为(x-a)2+y2=3-2a, ? ?3-2a>0 3 由已知可得? ,解得 a<-3 或 1<a<2. 2 ? ?a >3-2a 3 答案:(-∞,-3)∪(1,2) 8.若圆 O1:x2+y2=5 与圆 O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且 两圆在点 A 处的切线互相垂直,则|AB|=________. 解析:由题知 O1(0,0),O2(m,0),且 5<|m|<3 5,

又 O1A⊥AO2,所以有 m2=( 5)2+(2 5)2=25, 解得 m=± 5.∴|AB|=2× 答案:4 9.在*面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x -5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是________. 解析:因为圆的半径为 2,且圆上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离 为 1, 即要求圆心到直线的距离小于 1, 即 <1,解得-13<c<13. 12 +?-5?2
2

5× 20 =4. 5

|c|

答案:(-13,13) 二、解答题 10.已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3, 半径小于 5. 求:(1)直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)求过点(0,5)且与圆 C 相切的直线方程. 解析:(1)直线 PQ 的方程为 y-3= 即 x+y-2=0, 解法一 由题意圆心 C 在 PQ 的中垂线 3-2 4-1 y- 2 =1×(x- 2 ),即 y=x-1 上, 设 C(n,n-1),则 r2=|CQ|2=(n+1)2+(n-4)2, 由题意,有 r2=(2 3)2+|n|2, ∴n2+12=2n2-6n+17,解得 n=1 或 5, 3+2 -1-4 (x+1),

∴r2=13 或 37(舍),∴圆 C 为:(x-1)2+y2=13. 解法二 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

?4D-2E+F=-20 由已知得?D-3E-F=10 ?E2-4F=48 ?D=-2 解得?E=0 ?F=-12 ?D=-2 当?E=0 ?F=-12 ?D=-10 当?E=-8 ?F=4 ?D=-10 或?E=-8 ?F=4
时,r= 13<5;



.

时,r= 37>5(舍).

∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. (2)当切线斜率存在时,设其方程为 y=kx+5, 则 |k+5| 3 2 2= 13,解得 k=2或-3, 1+k

∴切线方程为 3x-2y+10=0 或 2x+3y-15=0, 当切线斜率不存在时,不满足题意, ∴切线方程为 3x-2y+10=0 或 2x+3y-15=0. 11.如图所示,在*面直角坐标系 xOy 中,△AOB 和△COD 为 两等腰直角三角形, A(-2,0), C(a,0)(a>0). 设△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为 M、N. (1)若⊙M 与直线 CD 相切,求直线 CD 的方程; (2)若直线 AB 截⊙N 所得弦长为 4,求⊙N 的标准方程; (3)是否存在这样的⊙N,使得⊙N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 2,若

存在,求此时⊙N 的标准方程;若不存在,说明理由. 解析:(1)圆心 M(-1,1). ∴圆 M 的方程为(x+1)2+(y-1)2=2, 直线 CD 的方程为 x+y-a=0. ∵⊙M 与直线 CD 相切, ∴圆心 M 到直线 CD 的距离 d= 化简得 a=2(舍去负值). ∴直线 CD 的方程为 x+y-2=0. a a (2)直线 AB 的方程为 x-y+2=0,圆心 N(2,2), a a |2-2+2| 圆心 N 到直线 AB 的距离为 = 2. 2 a2 ∵直线 AB 截⊙N 所得的弦长为 4,∴22+( 2)2= 2 . ∴a=2 3(舍去负值). ∴⊙N 的标准方程为(x- 3)2+(y- 3)2=6. (3)存在,由(2)知,圆心 N 到直线 AB 的距离为 2(定值),且 AB⊥CD 始终成立, ∴当且仅当圆 N 的半径 a =2 2,即 a=4 时,⊙N 上有且只有三个点到直线 AB 2 |-a| 2 = 2,

的距离为 2.此时,⊙N 的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8. 12.设圆上的点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点仍在圆上,且与直线 x-y+1 =0 相交的弦长为 2 2,求圆的方程. 解析:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. ∵点 A(2,3)关于直线 x+2y=0 的对称点 A′仍在这个圆上, ∴圆心(a,b)在直线 x+2y=0 上,

∴a+2b=0,① (2-a)2+(3-b)2=r2.② 又直线 x-y+1=0 截圆所得的弦长为 2 2, a-b+1 2 ∴r2-( ) =( 2)2.③ 2 解由方程①、②、③组成的方程组得: b=-3, ? ? ?a=6, ? ?r2=52, b=-7, ? ? 或?a=14, ? ?r2=244.

∴所求圆的方程为 (x-6)2+(y+3)2=52 或(x-14)2+(y+7)2=244.




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