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山东省济南市历下区2017届高三数学第一次模拟考试试题文2017091301192

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山东省济南市历下区 2017 届高三数学第一次模拟考试试题 文
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分为 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在 规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、 修正带和其他笔. 第 I 卷(客观题) 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 设 全 集 U ? ?? 1,?2,?3,?4,0? , 集 合 A ? ?? 1,?2,0? , B ? ?? 3,?4,0? , 则

(CU A) ? B ? (
A. ?0?

) B. ?? 3,?4? C. ?? 1,?2? D. ?

2.已知 f ( x) ? x2 , i 是虚数单位,则在复*面中复数 A.第一象限 B.第二象限

f (1 ? i) 对应的点在( 3?i



C.第三象限

D.第四象限 )

? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? 1, b ? 2, a ? b ? ?1 ,则向量 a 与 b 的夹角为 (
A.

?
3

B.

2? 3

C.

?
6

D.

5? 6

4.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验,得到腐蚀深度 y (毫米)与腐蚀时间 x (秒)之间的 5 组数据 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y3 ), ( x4 , y4 ), ( x5 , y5 ) .根据收集到的数据可知 x ? 16 , 由最小二

? ? 0.3x ? 5.3 ,则 y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 的值为( 乘法求得回归直线方程为 y
A. 45.5 B. 9.1 C. 50.5 D. 10.1



5.为了得到函数 y ? 2sin(3 x ?

?
4

) 的图象,只需把函数 y ? 2sin 3x 的图象上所有的点 (



A. 向左*移

? 个单位 4

B. 向左*移

? 个单位 12
1

C. 向右*移

? 个单位 4

D. 向右*移

? 个单位 12

6.已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 析式是( A. C. )

?
2

) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的解

f ( x) ? sin(3 x ? f ( x) ? sin( x ?

?
3 )

)

B. D.

f ( x) ? sin(2 x ? f ( x) ? sin(2 x ?

?

?

?

3 6

) )
2

3

7.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm )为 ( A.48 B.64 C.80 D.120 8.在等差数列 {an } 中,若 a1 ? a4 ? a7 ? 39,

)

a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则 S9 等于(
A.66 B.99

). D.297 ).

C.144

9.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 值是(

A.-1
2 2

2 B. 3

C.

3 2

D.4 )

10.椭圆 5x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为( A. ?25 B. 25 C. ? 1 D. 1

11.设错误!未找到引用源。满足约束条件错误!未找到引用源。,则下列不等式恒成立的 是( ) B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引

A.错误!未找到引用源。 用源。

D.错误!未找到引用源。

12.函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ?x ? , 当 x ?[0,1], f ?x ? ? 2 x , 若
2

在区间 [?2,3] 上方程 ax ? 2a ? f ?x? ? 0 恰有四个不相等的实数根 ,则实数 a 的取值范围是 ( A . )

? 2? ? 0, ? ? 5?

B.

?2 ? ? ,1? ?3 ?

C .

?2 2? , ? ?5 3? ?

D.

?2 2? ? , ? ?5 3?

第 II 卷(主观题) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f ( x) ? ? x ? 3x 的极大值为
3 2

.

14.已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? *面ABC , AB ? BC , SA ? AB ? 1 ,

BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于
15.在区间 [ ?

.

? ? , ] 上随机取一个数 x ,则 sin x ? cos x ?[1, 2] 的概率是 6 2
.

.

16.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐*线互相垂直,那么它的离心率为 144 b2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 是递增数列,且满足 a4 ? a7 ? 15, a3 ? a8 ? 8 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

1 (n ? 2), b1 ? ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 9an ?1an 3

1

18.(本小题满分 12 分) 如图所示,已知三棱锥 A ? BPC 中,

AP ? PC, AC ? BC, M 为 AB 的中点, D 为 PB 的中点,且 ?PMB
为正三角形. (1)求证: MD // *面 APC ; (2)求证:*面 ABC ⊥*面 APC ; (3)若 BC ? 4, AB ? 20 ,求三棱锥 D ? BCM 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 从某市主办的科学知识大赛的学生成绩中随机选取了 40 名学生 的成绩作为样本,已知这 40 名学生的成绩全部在 40 分到 100 分 之间, 现将成绩按如下方式分成 6 组:第一组 [40,50) ; 第二组

3

[50,60) ; ? ;第六组 [90,100] ,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求成绩在区间 [80,90) 内的学生人数; (2) 从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名,求至少有 1 名学生的成绩在区间 [90,100] 的 概率. 20.(本小题满分 12 分)

3 1 x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F 1 2 2 a b
的直线交椭圆于 A, B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当 ?F2 AB 的面积为 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e (a ? R) .
x

12 2 时,求直线的方程. 7

(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程; (2)求 f ( x) 在区间 [1,2] 上的最小值.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答.作答时请写清题号.

4 ? x ? 1 ? t ? ? 5 22. (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数), 3 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?
若以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? cos? ? sin ? . (1)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长; (2)若 M ( x, y ) 是曲线 C 上的动点,求 x ? y 的最大值. 23.(本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? 2 . (1)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (2)若对于 ?x ? R, f ( x) ? t ?
2

7 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2
4

文科数学 1.B 13.4 2.A 3.B 4.C 15. 5.B 6.D 16. 2 7.C 8.B 9.D 10.D 11.C 12.D

14. 4?

3 4

17、 解: (1)? (2) bn ?

?a4 ? a7 ? 15 ?a 4 ? 3 2 2 2 1 解得 ? 所以 d ? 所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n ? 3 3 3 3 ? a7 ? 5 ?a3 ? a8 ? a4 ? a7 ? 8

1 1 1 1 1 ? ? ( ? )(n ? 2) 2n ? 1 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 9? ? 3 3

b1 ? Sn ?

1 1 1 ? (1 ? ) 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

? ? ? M为AB中点? ? 18、证明:(1) ? ? MD // AP ? ? MD // *面APC D为PC中点? MD ? *面APC? ? AP ? *面APC ? ?

(2)

?PMB为正三角形? ? ? MD ? PB? PA ? PB D为PB中点 ?? ? MD // PA ? PA ? PC PB ? PC ? P

? ? ? ?? ? PA ? *面PBC ? ? PB, PC ? *面PBC? ? BC ? *面PBC?

? PA ? BC

? ? BC ? AC ? ? ? BC ? *面PAC ? PA ? AC ? A ? BC ? *面ABC? ? *面ABC ? *面APC ? PA, AC ? *面PAC? ?

(3) 10 7 19、(本小题满分 12 分) 解: (1)成绩在区间 [80,90) 内的学生人数为

40? [1 ? (0.005? 0.015? 0.045? 0.02 ? 0.005) ?10] ? 4
(人) ; ................4(分)

5

(2)成绩在区间 [90,100] 的学生人数为 40 ? 0.005 ?10 ? 2 (人). 记成绩在 [80,90) 的 4 位学生分别为 1、2、3、4,记成绩在 [90,100] 的 2 位学生分别为 a , b 。 则

? ? {(1,2), (1,3), (1,4), (1, a), (1, b), (2,3), (2,4), (2, a), (2, b), (3,4), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b), (a, b)}
共有 15 个基本事件。

A ? “至少有 1 名学生的成绩在区间 [90,100] ”

A ? {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b), (a, b)} 共有 9 个基本事件。
P ( A) ? 9 3 ? 。 15 5 3 。................12(分) 5

答:至少有 1 名学生的成绩在区间 [90,100] 的概率为

9 ? ?1 4 ? 2 ? 2 ?1 a b ?c 2 ? 1 ? ? x2 y2 ?c 1 ? ?1 20、解: (1) ? ? 解得 ?a 2 ? 4 所以 4 3 a 2 ? ?b 2 ? 3 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
(2)斜率不存在时 x ? ?1

AB ? 3, S?F2 AB ? 3 不满足

斜率存在 y ? k ( x ? 1), kx ? y ? k ? 0

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 2 消元得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4
? ? 0 恒成立 x1 ? x2 ?

? 8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? k 2
S ?F2 AB ? 1 16? 9(k 2 ? 1) 1? k 2 2 (3 ? 4k 2 ) 2 2k k 2 ?1 ?

k ?k 2k 16? 9(k 2 ? 1) ,h ? ? 2 2 2 (3 ? 4k ) k ?1 k 2 ?1

12 2 解得 k ? ?1 7

所以 y ? ?( x ? 1)

6

21、解 (1)设切线的斜率为 k. 因为 a=2,所以 f(x)=(x-2)e ,f′(x)=e (x-1). 所以 f(0)=-2,k=f′(0)=e (0-1)=-1. 所以所求的切线方程为 y=-x-2, 即 x+y+2=0. (2)由题意得 f′(x)=e (x-a+1), 令 f′(x)=0,可得 x=a-1. ①若 a-1≤1,则 a≤2, 当 x∈[1,2]时,f′(x)≥0,则 f(x)在[1,2]上单调递增. 所以 f(x)min=f(1)=(1-a)e. ②若 a-1≥2,则 a≥3, 当 x∈[1,2]时,f′(x)≤0,则 f(x)在[1,2]上单调递减. 所以 f(x)min=f(2)=(2-a)e . ③若 1<a-1<2,则 2<a<3, 所以 f′(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:
2 0

x

x

x

x f′(x) f(x)

1

(1,a-1) -

a-1
0 极小值

(a-1,2) +

2

所以 f(x)的单调递减区间为[1,a-1],单调递增区间为[a-1,2]. 所以 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(a-1)=-e
a-1

.

综上所述:当 a≤2 时,f(x)min=f(1)=(1-a)e; 当 a≥3 时,f(x)min=f(2)=(2-a)e ; 当 2<a<3 时,f(x)min=f(a-1)=-e
a-1
2

.

22、(1)直线 l 的参数方程为

(t 为参数),消去 t,可得 3x+4y+1=0,

ρ =
2

cos

=
2 2

,

即 ρ =ρ cos θ -ρ sin θ ,则有 x +y -x+y=0,

其圆心为

,半径为 r= ,

圆心到直线的距离 d=

= ,
7

故弦长为 2

=2

=.

(2)可设圆的参数方程为

(θ 为参数),

则设 M

,

则 x+y= cos θ + sin θ =sin 则 x+y 的最大值为 1.

,

8




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