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复变函数与积分变换二版本-9.1 拉普拉斯变换的概念_图文

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第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 第九章 Laplace 变换 §9.1 Laplace 变换的概念 §9.2 Laplace 变换的性质 §9.3 Laplace 逆变换 §9.4 Laplace 变换的应用 1 §9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换 §9.1 Laplace 变换的概念 一、Laplace 变换的引入 二、Laplace 变换的定义 三、存在性定理 四、几个常用函数的 Laplace 变换 2 §9.1 Laplace变换的概念 第 一、Laplace 变换的引入 九 章 1. Fourier 变换的“局限性”? 拉 普 拉 斯 变 换 当函数 f (t ) 满足 Dirichlet 条件,且在 (?? , ? ?) 上绝对 可积时,便可以进行古典意义下的 Fourier 变换。 由于绝对可积是一个相当强的条件,使得一些简单函数 (如常数函数、线性函数、正弦函数与余弦函数等等)的 Fourier 变换也受到限制。 3 §9.1 Laplace变换的概念 第 一、Laplace 变换的引入 九 章 1. Fourier 变换的“局限性”? 拉 普 拉 斯 变 换 广义 Fourier 变换的引入,扩大了古典 Fourier 变换的适 用范围,使得 “缓增” 函数也能进行 Fourier 变换,而且 将周期函数的 Fourier 级数与 Fourier 变换统一起来。 广义 Fourier 变换对以指数级增长的函数如 eat (a ? 0) 等 仍然无能为力;而且在变换式中出现冲激函数,也使人 感到不太满意。 4 §9.1 Laplace变换的概念 第 一、Laplace 变换的引入 九 章 1. Fourier 变换的“局限性”? 拉 普 拉 斯 变 换 在工程实际问题中,许多以时间 t 为自变量的函数( 比如 起始时刻为零的因果信号等)在 t < 0 时为零,而有些甚至 在 t < 0 时根本没有意义。 因此在对这些函数进行 Fourier 变换时,没有必要( 或者 不可能)在整个实轴上进行。 5 §9.1 Laplace变换的概念 第 一、Laplace 变换的引入 九 章 2. 如何对 Fourier 变换要进行改造? 基本想法 拉 普 (1) 将函数 f (t ) 乘以一个单位阶跃函数 u( t ) , 拉 使得函数在 t < 0 的部分补零(或者充零); 斯 变 (2) 将函数再乘上一个衰减指数函数 e? ? t ( ? ? 0) , 换 使得函数在 t > 0 的部分尽快地衰减下来。 ?? t 这样,就有希望使得函数 f ( t ) ? u( t ) ? e 满足 Fourier 变换的条件,从而对它进行 Fourier 变换。 6 §9.1 Laplace变换的概念 第 一、Laplace 变换的引入 九 章 2. 如何对 Fourier 变换要进行改造? 实施结果 拉 ?? ?? t 普 [ f ( t )u( t ) e ] ? ? f ( t )u( t ) e ? ? t e ? j ? t d t ?? 拉 ?? 斯 ? ? f (t ) e? ( ? ? j? )t d t 0 变 换 将上式中的 ? ? j ? 记为 s,就得到了一种新的变换: ?0 ?? f (t ) e? s t d t 记为 F ( s) . 注意 上述广义积分存在的关键: 变量 s 的实部 Re s ? ? 足够大。 7 §9.1 Laplace变换的概念 第 二、Laplace 变换的定义 九 章 定义 设函数 f (t ) 是定义在 (0 , ? ?) 上的实值函数,如果对于 拉 普 拉 斯 变 换 P213 定义 9.1 复参数 s ? ? ? j ? , 积分 F ( s ) ? ? 或像函数,记为 F ( s ) ? F ( s) ? ?? 0 f ( t ) e ? s t d t 在复*面 s 的某一区域内收敛,则称 F ( s ) 为 f (t ) 的 Laplace 变换 [ f ( t )] , 即 ?? 0 [ f ( t )] ? ? f (t ) e? s t d t . 相应地,称 f (t ) 为 F ( s ) 的 Laplace 逆变换或像原函数, 记为 f (t ) ? ?1 [ F ( s )] . Laplace简介 ?? t 注 f ( t ) 的 Laplace 变换就是 f ( t )u( t ) e 的 Fourier 变换。 8 §9.1 Laplace变换的概念 第 九 例 章 P213 拉 普 拉 斯 变 换 例 9.1 [1] ? ? ?? 0 1 1 ?st ?s t ? , e 1 ? e dt ? s ?s 0 ?? 0 ?? (Re s ? 0) (Re s ? 0) (Re s ? 0) [u(t )] ? ? u( t ) e ?s t dt ? ?0 1 ? e ?? ?? ?s t 1 dt ? , s 1 dt ? , s [sgn t ] ? ? P214 [e ] ? 例 9.2 P216 例9.3 at ?? 0 sgn t e ?s t dt ? ?0 1 ? e ?s t ? ?? a t ? s t e e 0 1 1 ( a ? s )t ? , (Re s ? Re a ) e dt ? s?a a?s 0 ?? 要点 进行积分时,确定 s 的取值范围,保证积分存在。 9 §9.1 Laplace变换的概念 第 九 章 从上述例子可以看出 (1) 即使函数以指数级增长,其 Laplace 变换仍然存在; 拉 (2) 即使函数不同,但其 Laplace 变换的结果可能相同。 普 拉 斯 问题 (1) 到底哪些函数存在 La



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