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2014届高考数学一轮复习第6章《不等式与推理证明》(第5课时)知识过关检测理(新人教A版)

2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 6 章《不等式与推 理证明》(第 5 课时)(新人教 A 版)

一、选择题

1.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( )

A.三角形

B.梯形

C.平行四边形

D.矩形

解析:选 C.因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互

相平行,故选 C.

2.由170>58,191>180,1235>291,….若 a>b>0 且 m>0,则ba+ +mm与ba之间大小关系为(

)

A.相等

B.前者大

C.后者大

D.不确定

解析:选 B.观察题设规律,由归纳推理易得ba+ +mm>ba.

3.记 Sn 是等差数列{an}前 n 项的和,Tn 是等比数列{bn}前 n 项的积,设等差数列{an}公差

d≠0,若对小于

2013

的正整数

n,都有

S S = n

2013-n

成立,则推导出

a1007=0,设等比数列{bn}

的公比 q≠1,若对于小于 23 的正整数 n,都有 Tn=T23-n 成立,则( )

A.b11=1

B.b12=1

C.b13=1

D.b14=1

解析:选 B.由等差数列中 Sn=S2013-n,可导出中间项 a1007=0,类比得等比数列中 Tn=T23-n,

可导出中间项 b12=1.

4.对任意正整数 a,b,a+b≥2 ab大前提

x+1x≥2

x·1x小前提

所以 x+1x≥2 结论

以上推理过程中的错误为( )

A.大前提

B.小前提

C.结论

D.无错误

解析:选 B.∵小前提中没有标明 x>0,故小前提错.

5.(2013·日照质检)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理

可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=

() A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析:选 D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数.因此当 f(x)是偶函数时,
其导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x).

二、填空题 6.一切奇数都不能被 2 整数,2100+1 是奇数,所以 2100+1 不能被 2 整除,其演绎“三段

论”的形式为:

大前提:一切奇数都不能被 2 整除,

小前提:

________________________________________________________________________,

结论:

________________________________________________________________________. 解析:由“三段论”的形式可知:2100+1 是奇数为小前提,2100+1 不能被 2 整除是结论.
答案:2100+1 是奇数 2100+1 不能被 2 整除 7.古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它们有一定的规律性.第 30 个三角形数与第 28 个三角形数的差为________. 解析:第 n 个三角形数满足的规律为 an=an-1+n,从而有 a30=a29+30=a28+29+30=a28 +59,所以两数差为 59. 答案:59 8 . (2012· 高 考 湖 北 卷 ) 回 文 数 是 指 从 左 到 右 读 与 从 右 到 左 读 都 一 样 的 正 整 数 , 如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,…,99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121,…,191,202,…999.则 (1)4 位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N+)位回文数有________个. 解析:2 位回文数有 9 个,4 位回文数有 9×10=90 个,3 位回文数有 90 个,5 位回文数 有 9×10×10=100×9 个,依次类推可得 2n+1 位有 9×10n 个. 答案:(1)90 (2)9×10n 三、解答题 9.已知等式:sin25°+cos235°+sin5°cos35°=34;

sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34;

sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34;….

由此可归纳出对任意角 θ 都成立的一个等式,并予以证明.

解:归纳已知可得:

sin2θ

+cos2(θ

+30°)+sinθ

cos(θ

3 +30°)=4.

证明如下: sin2θ +cos2(θ +30°)+sinθ cos(θ +30°)

=sin2θ +( 23cosθ -12sinθ )2+sinθ ( 23cosθ -12sinθ )

=sin2θ

+34cos2θ

+14sin2θ

-12sin2θ

3 =4.

10.(2013·聊城质检)已知命题:“若数列{an}是等比数列,且 an>0,则数列 bn=

n a1a2…an(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质? 并证明你的结论.
解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{an}是等差数列, 则数列 bn=a1+a2+n …+an也是等差数列.

证明如下:

设等差数列{an}的公差为 d,则 bn=a1+a2+n …+an=na1+n

n- 2
n

d 所以数列{bn}是以 a1 为首项,2为公差的等差数列.

d =a1+d2(n-1),

一、选择题 1.(2012·高考江西卷)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5

+b5=11,…,则 a10+b10=( )

A.28

B. 76

C.123

D.199

解析:选 C.记 an+bn=f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4

=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则

f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)

=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a10+b10=123.

2.①由“若 a,b,c∈R,则(ab)c=a(bc)”类比“若 a、b、c 为三个向量,则(a·b)c

=a(b·c)”;

②在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,猜想 an=2n-2;

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面

积之和大于第四个面的面积”;

上述三个推理中,正确的个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:选 C.①三个实数之积满足乘法的结合律,而三个向量之积是向量,而两个向量相

等要满足方向和大小都相等,向量(a·b)c 与向量 a(b·c)不一定满足,故①错误.

②由 an+1=2an+2,可得 an+1+2=2(an+2),故数列{an+2}为等比数列,易求得 an=2n

-2,故②正确;

③在四面体 ABCD 中,设点 A 在底面 BCD 上的射影是 O,则三个侧面的面积都大于其在底

面上的投影的面积,三个侧面的面积之和一定大于底面的面积,故③正确.

二、填空题

3.在圆中有结论:如图所示,“AB 是圆 O 的直径,直线 AC,BD 是圆 O 过 A,B 的切线,

P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO2=PC·PD”.类比到椭圆:“AB 是椭圆的长

轴,直线 AC,BD 是椭圆过 A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有

____________.”

解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径. 答案:PF1·PF2=PC·PD 4.(2011·高考山东卷)设函数 f(x)=x+x 2(x>0),观察: f1(x)=f(x)=x+x 2, f2(x)=f(f1(x))=3xx+4, f3(x)=f(f2(x))=7xx+8, f4(x)=f(f3(x))=15xx+16,
… 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 解析:依题意,先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式,由 1,3,7,15,…, 可推知该数列的通项公式为 an=2n-1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16,…,故 其通项公式为 bn=2n.

所以当 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=

x n- x+2n.

x 答案: n- x+2n

三、解答题

5.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:A1D2=A1B2+A1C2,那么在四面体 A-BCD 中,

类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由.

图①

解:如图①所示,由射影定理知

AD2=BD·DC,

AB2=BD·BC,

AC2=BC·DC,

1

1

∴AD2=BD·DC

BC2

BC2

=BD·BC·DC·BC=AB2·AC2.

又 BC2=AB2+AC2,

1 AB2+AC2 1 1 ∴AD2=AB2·AC2=AB2+AC2.

111 ∴AD2=AB2+AC2.

类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想:

四面体 A-BCD 中,AB、AC、AD 两两垂直,

AE⊥平面 BCD,

1111 则AE2=AB2+AC2+AD2.

如图②,连接 BE 并延长交 CD 于 F, 连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF? 平面 ACD, ∴AB⊥AF, 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF,
111 ∴AE2=AB2+AF2.
在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, 111
∴AF2=AC2+AD2.

图②

1111 ∴AE2=AB2+AC2+AD2,故猜想正确.




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