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1102常数项级数的审敛法-2

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常数项级数的审敛法第二节 常数项级数的审敛法-2 三、交错级数及其审敛法: 交错级数及其审敛法 称正负相间或负正相间的级数为交错级数. ◆定义: 称正负相间或负正相间的级数为交错级数.
n =1 ∞

∑ ( ?1)n?1un = u1 ? u2 + u3 ? ?,
(其中un > 0).




或 ∑ ( ?1)nun = ? u1 + u2 ? u3 + ?,
◆莱布尼茨定理 如果交错级数 ∑ ( ?1)n ?1 un满足 :
n =1 n =1

(1) un ≥ un +1 ( n = 1,2,?); ( 2) lim un = 0;
n→ ∞

则级数收敛 , 且其和 s ≤ u1 , | rn |≤ un+1 .

证明 由条件(1)知 : un ? un +1 ≥ 0,

∵ s2n = ( u1 ? u2 ) + ( u3 ? u4 ) + ? + ( u2n ?1 ? u2n )

∴数列s2n是单调增加的, 又 ∵ s2n = u1 ? ( u2 ? u3 ) ? ? ? ( u2n? 2 ? u2n ?1 ) ? u2n ≤ u1 ∴数列s2n有上界,
∴ 可设 lim s2n = s ≤ u1 , 又 ∵ lim u2n +1 = 0,
n→ ∞ n→ ∞

∴ lim s2n +1 = lim ( s2n + u2n +1 ) = s ,
n→ ∞ n→ ∞

∴ 级数收敛于和 s , 且s ≤ u1 .
∵ 余项 rn = ± ( un +1 ? un + 2 + ?), ∴ rn = un +1 ? un + 2 + ?,
满足定理中的两个条件, 满足定理中的两个条件, ∴ rn ≤ un +1 .

例1 判定级数 ∑

∞ (?1)n

n=1

n

的收敛性.

1 解 这是一个交错级数 , 且un = , n

1 1 ∵ un = ≥ = un +1 , 且 lim un = 0, n n+1 n→ ∞

由莱布尼茨定理知, 级数收敛. 由莱布尼茨定理知, 原级数收敛.

例2 判定级数 ∑ 解

∞ (?1)n n

n=2

n ?1

的收敛性.

x ? (1 + x ) ∵ x ≥ 2时, ( 时 < 0, )′ = x ?1 2 x ( x ? 1)2

x 故x ≥ 2时,函数 单调递减 , x ?1

∴ n ≥ 2时, 有 un > un +1 ,
n 又 ∵ lim un = lim = 0, n→ ∞ n→ ∞ n ? 1
由莱布尼茨定理知, 级数收敛. 由莱布尼茨定理知, 原级数收敛.

( ?1)n 练* 判定级数 ∑ [ + ] 的收敛性 . n+1 2n n =1 2



( ?1)n , 解 ∵ un = n + n+1 2 2

等比级数 莱布尼茨定理

∞ 2 ∞ ( ?1)n 又 ∵ ∑ n和 ∑ 均收敛 , n =1 2 n =1 n + 1

由收敛级数的性质知 ,

原级数收敛 .

四、绝对收敛与条件收敛 ◆对于一般的级数 ∑ un :
n =1 ∞ ∞ ∞

n =1



∞ ( ?1)n

n

定理 若 ∑ | un | 收敛 , 则 ∑ un也收敛 . 反之,未必. 未必
n =1 n =1

证明

1 令 vn = ( un + un ) ( n = 1,2,?), 2
∞ n =1

显然 vn ≥ 0, 且 vn ≤ un , ∵ ∑ | un | 收敛 , ∴ ∑ vn收敛 , 又 ∵ ∑ un = ∑ ( 2vn ? un ), ∴ ∑ un收敛 .
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ n =1



◆本定理的作用:一般的级数 定理的作用:

正项级数. 正项级数

例3 判定级数 ∑

∞ sin n

n =1 n n

的收敛性 .


1 sin n 1 收敛 , |≤ , 且∑ 解 ∵| n n n n n =1 n n
sin n | 收敛 , ∴ 原级数收敛 . ∴∑| n n n =1
∞ sin nα 例4 判定级数 ∑ 的收敛性 . n2 n =1 ∞

解 ∵

sin nα n2

∞ 1 ≤ 2 , ∑ 2收敛 , ∴ 原级数收敛 . n n =1 n

1

◆定义: 若 ∑ un 收敛 , 则称级数 ∑ un绝对收敛 . 定义:





若 ∑ un 发散 , ∑ un收敛 , 则称级数 ∑ un条件收敛 .
n =1 n =1 n =1



n =1



n =1 ∞

例5 判定级数 ∑

的收敛性 ; n =1 n + n 若收敛 , 指出是条件收敛 , 还是绝对收敛 .
∞ ∞

∞ ( ?1)n

解 由莱布尼茨定理知 ,级数收敛 , 级数收敛

1 又 ∵ ∑ un = ∑ 发散 , n =1 n =1 n + n
故原级数收敛,且为条件收敛. 故原级数收敛,且为条件收敛.

◆说明: (1)若 ∑ un 收敛 , 则 ∑ un也收敛; 说明:





( 2)若 ∑ un 发散 , ∑ un 可能是收敛的 , 也可能是发散的;
n =1 ∞ n =1



n =1



n =1

( 3)若用比值审敛法或根值 审敛法由 ρ > 1判定 ∑ un 发散 , 则 ∑ un必发散 . [∵ lim un ≠ 0.]
n =1 n→ ∞ n =1



例6 判定级数 ∑



n =1

1 2n2 n 1 ( ?1) n (1 + ) 的收敛性 . n

π

1 2n e 2 解 ∵ lim n | un | = lim (1 + ) = > 1, n n→ ∞ n→ ∞ π π ∴ 原级数发散 . 1

例7 判定下列级数的收敛性 :
∞ ∞ 1 1 1 (1) ∑ (1 ? cos ); ( 2) ∑ (1 ? cos ); ( 3) ∑ (1 + cos x ). n n n n =1 n =1 n =1 ∞

1 1 1 ? cos ( n = lim 2 解 (1) ∵ lim n→ ∞ 1 n→ ∞ n
∞ 1

1 2 ) n = 1, 1 2 n

故原级数发散. 又 ∵ ∑ 发散 , 故原级数发散. n =1 n

例7 判定下列级数的收敛性 :
∞ ∞ 1 1 1 (1) ∑ (1 ? cos ); ( 2) ∑ (1 ? cos ); ( 3) ∑ (1 + cos x ). n n n n =1 n =1 n =1 ∞

1 1 1 2 1 ? cos ( ) n = lim 2 n = 1 , ∵ lim 解 ( 2) 2 n→ ∞ 1 n→ ∞ 1 2 n2 n
∞ 1 又 ∵ ∑ 2收敛 , 故原级数收敛. 故原级数收敛. n =1 n

例7 判定下列级数的收敛性 :
∞ ∞ 1 1 1 (1) ∑ (1 ? cos ); ( 2) ∑ (1 ? cos ); ( 3) ∑ (1 + cos x ). n n n n =1 n =1 n =1 ∞

解 ( 3) ∵ lim (1 + cos x ) = n→ ∞ n

1

1 + cos 1, x = 0 2,
不存在,
x>0 x<0

∴ ?x , lim (1 + cos x ) ≠ 0, n→ ∞ n ∴ 对?x ,原级数发散 . 原级数发散

1

练* 讨论级数 ∑ 解 (1)当x = 0时,



1

n =1 1 + n

的收敛性 . x

( 2)当x < 0时,
( 3)当x > 0时,

1 1 un = → ≠ 0 ( n → ∞ ), 级数发散; 2 2 1 un = → 1 ≠ 0 ( n → ∞ ), 级数发散; x 1+ n nx un → 1 ( n → ∞ ), = 1 1 + nx

nx

而由P ? 级数的结论知 :
x ≤ 1时, 级数发散; x > 1时, 级数收敛 ; 时

综上所述 , 得 : x ≤ 1时, 级数发散; x > 1时, 级数收敛 .

绝对收敛的重要性质:本页内容不作学*要求. 五*、绝对收敛的重要性质:本页内容不作学*要求. 定理 绝对收敛的级数具有可 交换性 :

绝对收敛的级数改变项 的位置后构成的级数 仍收敛 , 且和不变 .

练*题
一 .判定下列级数的收敛性 : 判定下列级数的收敛性

1. ∑ n ; n =1 n 1 4. ∑ ; n = 2 ln n 1 7. ∑ arcsin ; n n= 2 n
∞ 1 ∞



1

2. ∑



1 nn n

n =1

;

3. ∑



1
2n

n =1 n

; n

5. ∑


∞ ( ?1)n

n = 2 ln n

;

6. ∑


∞ ( ?1)n

n = 2 n ln n

;

8. ∑ n sin 3 ; n n =1

e

9. ∑ tan
n =1

1 n n

.

二.判定下列级数的收敛性, 若收敛, 指出是条件收敛, 还是绝对收敛 :
n+1 1. ∑ ( ?1) ln ; n n =1
n ∞

三.设 ∑ un和 ∑ vn都绝对收敛, 证明 ∑ unvn也绝对收敛.
∞ un 四.设 ∑ un收敛, lim = 1,问 ∑ vn是否收敛 ?为什么? n→ ∞ vn n =1 n =1
n =1 ∞ n =1 n =1





n2 + 1 2. ∑ ( ?1)n ln 2 ; n n =1




五.设正项级数 ∑ un收敛,U n = u1 + u2 + ? + un , 1 问∑ 是否收敛 ?为什么? U n =1 n
∞ n =1



(?1)n ∞ (?1)n 1 ∑ n , ∑[ n + n] n=1 n=1



六、小结与教学基本要求: 小结与教学基本要求: ◆掌握: 掌握: 1.交错级数的莱布尼茨审敛法; 1.交错级数的莱布尼茨审敛法; 交错级数的莱布尼茨审敛法 2.绝对收敛,条件收敛的概念; 2.绝对收敛,条件收敛的概念; 绝对收敛 3.绝对收敛必收敛; 3.绝对收敛必收敛; 绝对收敛必收敛 4.绝对级数用比值审敛法或根值审敛法 4.绝对级数用比值审敛法或根值审敛法 判定为发散时,原级数也发散. 判定为发散时,原级数也发散.

*题 11- 2 // P206: 5.




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