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苏教版高中数学必修5:二元一次不等式组表示的*面区域_课件1

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二元一次不等式组表示的*面区域

??x+2y-1>0 画出不等式组?2x+y-5≤0
??y<x+2

,所表示的*面区域.

【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边界

直线,再根据不等号的方向,确定所表示的*面区域.

【解析】 先画直线 x+2y-1=0,由于是大于号,从 而将直线画成虚线,∵0+0-1<0,∴原点在它的相反区域 内.
再画直线 2x+y-5=0,由于带有等号,从而将直线画 成实线,∵0+0-5<0,∴原点在该不等式表示的区域内.

最后画直线y=x+2,由于不等式不带等号,从而将直线画 成虚线.∵2>0,∴原点在该不等式表示的区域内.
如图所示,其中的阴影部分便是不等式组表示的*面区域.

思考题 画出不等式|3x+4y-1|<5 所表示的*面区域. 【解析】 不等式|3x+4y-1|<5等价于?????33xx++44yy-+64<>00.
区域如图.

如图所示,求△PQR 内任一点(x,y)所满足的关系式.

【解析】 首先求直线PQ、QR,RP的方程,由两点式,可

直线PQ的方程为x+2y-5=0,
直线QR的方程为x-6y+27=0,
直线RP的方程为3x-2y+1=0.
由于△PQR内任一点(x,y)应在直线RP、PQ的上方,而在
QR的下方,故应有: ??x+2y-5>0 ? ?3x-2y+1<0 ? ??x-6y+27>0.

探究 准确理解题意,转化为求约束条件下的可行域问题. 思考题 下图中阴影部分可用二元一次不等式组表示( )

??y≥-1 A.???2x-y+2≥0
??x≤0 C.?y≥-2
??2x-y+2≥0
【答案】 C

?? y≥-1 B.???2x-y+2≤0
??x≤0 D.?y≥-2
?? x-y+2≤0

题型四 求区域面积或区域内正整数解 例 求由不等式组?????|x|≤x+5 2y|≤4 围成的*面区域的面积.

【解析】

?x≤5 ??x≥-5
??x+2y≥-4 ??x+2y≤4.

画出该不等式组所表示的*面区域,如图所示,可知阴影部 分为一*行四边形.
由于两*行线x=-5与x=5之间的距离为10. 由?????xx=+52y=4, 可得C(5,-12). 由?????xx=+52y=-4, 可得B(5,-92). ∴|BC|=|-92+12|=4,∴S=10|BC|=40.

思考题

??x-y+6≥0 (1)求不等式组?x+y≥0
??x≤3

表示的*面区域,并

求区域的面积.

【解析】 不等式组表示的*面区域如下图所示.因此其区 域面积也就是△ABC 的面积.显然,△ABC 为等腰直角三角形,∠ BAC=90°,A(-3,3),B(3,-3),C(3,9),AB=AC,由点到直线 的距离公式,得

|AB|=|3×1+?-3?2×?-1?+6|= 122.

∴S△ABC=12×

12× 2

122=36.

(2)画出2x-3<y≤3表示的区域,并求所有的正整数解.

【思路分析】

原不等式等价于

??y>2x-3 ???y≤3.

而求正整数解,则意味着x,y还有限制条件,即求:

??? xy> >00 ??y>2x-3,

y≤3

的整数解.

【解析】 如图,在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3),共五组.

题型五 应用问题
例 2013 年 4 月,为支援四川雅安地震灾区,某公司接受了 向该地区每天至少运送 180 吨饮用水的任务.该公司有 8 辆载重 为 6 吨的 A 型卡车与 4 辆载重为 10 吨的 B 型卡车,有 10 名驾驶 员,每辆车每天往返的次数为 A 型卡车 4 次,B 型卡车 3 次,每 辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元,B 型车为 500 元,公 司每天最多可以提供资金 3 200 元.用数学观点来分析一下该公 司调配车辆所受到的限制.

【解析】 设每天调出A型车x辆,B型车y辆. 0≤x≤8.0≤y≤4. 因为共有10名驾驶员,所以x+y≤10. 因为每天需要至少送180吨水, 所以4x×6+3y×10≥180. 因为最多可以提供资金3 200元. 所以320x+500y≤3 200.

?? 0≤x≤8,x∈N ?0≤y≤4,y∈N ??x+y≤10 ??24x+30y≥180 ??320x+500y≤3 200.
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点.

探究 充分利用已知条件,找出不等关系,画出适合条件的 *面区域,然后在该*面区域内找出符合条件的点的坐标.实际 问题要注意实际意义对变量的限制.必要时可用表格的形式列出 限制条件.

思考题 一工厂生产甲、乙两种产品,生产每吨产品的资源

需求如下表:

品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人



2

3

5



8

5

2

该厂有工人 200 人,每天只能保证 160 kW·h 的用电额度,

每天煤不得超过 150 t,请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产

品允许的产量范围.

【答案】

1.已知点(2,2)和(-3,3)在直线x+2y+m=0的两侧,则m的

取值范围是( )

A.m<-6或m>-3

B.m=-6或-3

C.-6<m<-3

D.m<-3

答案 C
解析 由题意得(2+2×2+m)(-3+2×3+m)<0,
∴-6<m<-3.

2.已知点(a,2a-1),既在直线y=3x-6的上方,又在y轴的

右侧,则a的取值范围( )

A.(2,+∞)

B.(5,+∞)

C.(0,2)

D.(0,5)

答案 D

?? ?x+1?2+y2≤1 3.若*面区域D的点(x,y)满足不等式组 ?x-y≤0
??x+y≤0,

则*面区域D的面积是( )

A.12+2π

B.1+2π

C.12+π4

D.1+4π

答案 B

?? x-y+5≥0 4.若不等式组 ?y≥a
??0≤x≤2

表示的*面区域是一个三角

形,则a的取值范围是( )

A.a<5

B.a≥7

C.5≤a<7

D.a<5或a≥7

答案 C

解析 不等式表示的*面区域如图所示,
当 y=a 过 A(0,5)时表示的*面区域为△ABC. 当 5<a<7 时表示的*面区域为三角形. 综上,当 5≤a<7 时表示三角形.

5.原点O(0,0)与点集A={(x,y)|x+2y-1≥0,y≤x+2,2x +y-5≤0}的关系是________,点M(1,1)与集合A的关系是 ________.
答案 O?A M∈A
解析 将点(0,0)代入集合 A 中的三个不等式中,不满足 x+ 2y-1≥0,故 O?A,同样代入 M 点,得 M∈A。

6.表示图中阴影部分的二元一次不等式组为________. ?? x≤0
答案 ?y≥-1 ??2x-y+2≥0
解析 先由两直角边确定前两个条件,再由直线过点(0,2), (-1,0)确定直线方程,由线性规划知识可求解。




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