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专题复习-函数的零点

专题复习--函数的零点 【标题 01】对零点这个概念没有理解清楚 【习题 01】函数 f (x) ? x 2 ? 3x ? 2 的零点是 () A. ?1,0? B. ?2,0? C. ?1,0?, ?2,0? D.1, 2 【经典错解】解方程 x2 ? 3x ? 2 ? 0 得 x ?1 或 x=2,所以函数的零点是 ?1,0?, ?2,0? ,故选 C. 【详细正解】由 f ?x? ? x2 ? 3x ? 2 ? 0 得, x =1和2,故选 D . 【习题 01 针对训练】已知函数 f ?x? ? ?2 x ? ? 2, x ? 1, 则函数 f (x) 的零点为( ) ?2 ? log 2 x, x ? 1, A. 1 和 1 B. ? 4 和 0 C. 1 D.1 4 4 【标题 02】误认为 f (a) ? f (b) ? 0 时函数在区间 (a, b) 至少有一个零点 【习题 02】已知函数 f (x) ? x ? 1 ,且 f (?1) ? ?2 , f (1) ? 2 , f (1)gf (?1) ? 0 ,则 f (x) x 在 (?1,1) 内 ____. A.有且只有一个零点 B.至少有一个零点 C.只有两个零点 D.没有零点 【经典错解】由零点定理得 f (x) 在 (?1,1) 内至少有一个零点,故选 B . 【详细正解】函数 f (x) 的定义域是{x | x ? 0} ,所以它在区间 (?1,1) 上不是连续函数,所 以不能利用零点定理,当 x ? 0 时,f (x) ? 0 ,当 x ? 0 时,f (x) ? 0 ,所以 f (x) 在 (?1,1) 内与 x 轴没有交点,故选 D . 【深度剖析】(1)经典错解错在误认为 f (a) ? f (b) ? 0 时函数在区间 (a, b) 至少有一个零点. (2)零点定理的使用必须满足两个条件:①函数在区间[a,b] 上连续;② f (a)gf (b) ? 0 , 才能得到一个结论:函数在区间 (a, b) 内至少有一个零点.所以解答零点定理的题目时,一 定要认真审题,认真分析,才能做出判断.错解就是没有注意到函数 f (x) ? x ? 1 在 (?1,1) x 不是连续函数,因为 x ? 0 ,所以不能使用零点定理分析解答. 【 习 题 02 针 对 训 练 】 单 调 函 数 f (x) 在 区 间 [a,b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 , 且 f (a)gf (b) ? 0 ,用二分法求零点时,取 x0 ? a ?b 2 ,若计算得 f (x0 ) ? 0 ,则有 ______ . A.函数 f (x) 的零点在 (a, x0 ) 内 B.函数 f (x) 的零点在 (x0 , b) 内 C.函数 f (x) 在 (a, b) 内无零点 D.函数 f (x) 的零点为 x0 【标题 03】误认为 f (a) ? f (b) ? 0 时函数在区间 (a, b) 没有零点 【习题 03】对于函数 f ? x? ? x2 ? mx ? n ,若 f ?a? ? 0, f ?b? ? 0 ,则函数 f ? x? 在区间 ?a,b?内( ) A. 一定有零点 B . 一定没有零点 C. 可能有两个零点 D. 至多有一个零点 【经典错解】由于不满足 f ?a?? f ?b? ? 0 , 所以函数 f ? x? 在区间 ?a,b? 内没有零点,故 选B. 【详细正解】画出二次函数的草图,可以观察得到 f ? x? 在区间 ?a,b? 内可能有两个零点, 也可能有一个零点,也可能没有零点,故选 C . 【习题 03 针对训练】关于 x 的方程 x3 ? 3x2 ? a ? 0 有三个不同的实数解,则实数 a 的取值 范围是________. 【标题 04】误认为分段函数就没有零点 【习题 04】下列函数图像与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( ) A. B. C. D. 【经典错解】由于选择支 D 是一个分段函数,所以不能用二分法求图中函数的零点. 【详细正解】由于选择支 C 中所有函数值 f (x) ? 0 恒成立,所以不满足 f (a) f (b) ? 0 , 所以不能利用二分法求图中函数的零点. 【习题 04 针对训练】下列函数图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值 的是( ) 【标题 05】对方程的类型判断错误导致漏解 【 习 题 05 】 若 关 于 x 的 方 程 2ax2 ? x ?1 ? 0 只 有 一 个 实 数 根 , 则 实 数 a 的 取 值 是 . 【经典错解】由 ? ?1? 8a ? 0.得 a ??1. 8 故填 ? 1 . 8 【 详 细 正 解 】 当 a ? 0 时 方 程 化 为 ?x ?1 ? 0 , x ? ?1 , 满 足 题 意 ; 当 a ? 0 时 , 由 ? ?1? 8a ? 0得 a ? ? 1 . 所以 a ? ? 1 或 0 . 故填 ? 1 或0. 8 8 8 【深度剖析】(1)经典错解错在对方程的类型判断错误导致漏解 .(2)错解误认为 ax2 ? bx ? c ? 0 就是关于 x 的一元二次方程,没有注意考查 a 的范围.如果加上 a ? 0 ,方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 才是一元二次方程.(3)今后大家看到方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ,马上要想 到看 a 的范围,如果没有限制,该方程只能是“一元二次型”方程,如果加上 a ? 0 ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 才是一元二次方程.(4)类似的,不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 也不一定是二次 不等式,要分类讨论. 【习题 05 针对训练】已知集合 A ? ?x (x



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