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带电粒子在非均匀电磁场中的运动分析

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题目: 带电粒子在非均匀电磁场中的运 动分析

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目 录
1.引言:............................................................ 1 2.静带电粒子在均匀,恒定磁场中的运动................................ 1 3.带电粒子在均匀,恒定电磁场中的运动................................ 2 3.1 带电粒子在均匀,恒定电磁场中的运动的分析 ...................... 2 3.2 带电粒子在均匀电磁场中的运动微分方程 .......................... 2 4.带电粒子在非均匀,恒定磁场中的运动................................ 5 5.带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移.................................. 6 5.1 梯度漂移 ...................................................... 6 5.2 曲率漂移 ...................................................... 8 6.结论............................................................. 9 7.叁考文献:...................................................... 10 8.致谢............................................................. 11

带点粒子在非均匀电磁场中的运动
摘要:本文中论述带电粒子在均匀电磁场中的运动情况,并对带电粒子在非
均匀电磁场中的运动进行较深刻的讨论,及推导带电粒子在非均匀磁场中运动 时的漂移速度。

关键词:带电粒子;电场;磁场;漂移速度

新疆师范大学 2012 届本科毕业论文

1.引言:
在很多等离子体的应用中, 都涉及到磁场对等离子体的作用. 因此, 研究 带电粒子在非均匀磁场中的运动, 对于研究等离子体的应用是很有必要的. 大家 知道带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成:一部分是沿磁感应线的 (纵向)匀速直线运动; 另一部分是环绕磁感应线的( 横向)匀速圆周运动. 这两部 分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动. 在非均匀恒定磁场中,会发生 洛伦磁力方向上的漂移,还会发生一种垂直于磁场方向的漂移。

2.静带电粒子在均匀,恒定磁场中的运动
带电粒子在磁场中的运动,受 lorentz 力的作用,其运动方程:

ma ? qv ? B

(1)

在磁场 B 均匀,恒定条件下,垂直于 B 的速度分量 v? 受到与 B 和 v? 都垂直的恒 力 qv? B 的作用,使带点粒子在垂直于 B 的*面内以 v? 作匀速圆周运动,圆半径为

rL =

mv? qB

(2)

rL 称为回旋半径或 Larmor 半径,圆周运动的角速度为

?L =

qB v? = m r?

(3)

?L 称为回旋圆频率(Larmor 频率)。*行于 B 的速度分量 ?// 不受力,使带电粒子
沿 B 的方向即沿磁力以 ? 作匀速直线运动。因此,带电粒子在均匀恒定磁场中的 运动轨迹是以磁力线为轴的等距螺旋线,螺距为
h = v//TL =

2? mv/ / qB

(4)

TL =

2?

?L

=

2? rL v?

(5)

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本科毕业论文

其中 TL =

2?

?L

=

2? r? 称为回旋周期或 Larmor 周期。 v?

可以看带电粒子均匀磁场中的运动时,它的周期与轨道半径成正比,在恒定 的周期内轨道半径与速度成正比,利用这个规律可以使电子加速。

3.带电粒子在均匀,恒定电磁场中的运动
3.1 带电粒子在均匀,恒定电磁场中的运动的简单解释
如果除了均匀恒定磁场外,还存在着均匀恒定电场或其他非电磁力,或者, 如果磁场给均匀,不恒定,则带电粒子运动的重要特征是出现漂移即引导中心除 了沿磁力线的运动外,还有垂直磁力线的运动,或者称为漂移。

3.2 带电粒子在均匀电磁场中的运动分析
? ? 如图 1 所示,在三维直角坐标系 o x y z 中,磁感应强度 ? ? ? z k , 电场强度为

? ? ? E ? E y j ? EZ k 。当 t=0 时,一质量为 m,电量为 q 的带电粒子从坐标原点 0 ? ? ? ? 经过,速度为 v0 ? vx0 i ? v y 0 j ? vz 0 k 。
在不考虑重力作用情况下,带电粒子在任意时刻 t 所受到的合外力为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? F ? qE ? q(v ? ?) ? qEy j ? qEz k ? q(vx i ? v y j ? vz k ) ? ? z k

? ? ? ? qvy ? z i ? q(E y ? vx ? z ) j ? qEZ k
根据牛顿第二运动定律,粒子的运动微分方程为

q? y Bz d 2x ? 2 dt m
q( E y ? v x ? z ) d2y ? m dt 2

(6)

(7)

图1

2

本科毕业论文

q Ez d 2z ? m dt2
初始条件为

(8)

x t ?0 ? 0,

y t ?0 ? 0

z t ?0 ? 0
vz
t ?0

vx

t ?0

? vx0

vy

t ?0

? v y0

? vz 0

求解微分方程根据式(6)得

m d 2x m dvx vy ? ? 2 q? z dt q? z dt
将式(9)两边对时间求一阶导数得

(9)

dvy

m d 2 vx ? dt q? z dt 2
2

(10)

将式(10)代入式(7)得
2 q ?z Ey d 2 v x ? q? z ? ? ?0 ? ? vx ? 2 dt m2 ? m ?

d2 dt 2

E y ? ? q? z ? 2 ? Ey ? ? ? ? vx ? ? ? ??? m ? ? ? vx ? ? ? ??0 ? ? ? z ? z ? ?

这是一个二阶常系数线性微分方程,方程的解为

vx ?
再进行积分为

Ey ?z

? c1 sin

q? z q?z t ? c2 cos t m m

(11)

x?

Ey ?z

t ? c x0 ?

c1m q? cm q? cos z t ? 2 sin z t q? z m q? z m

(12)

将式(11)代入式(7)得
q? q? v y ? c1 c o s z t ? c2 s i n z t m m
(13)

y ? c y0 ?
将初始条件

c1m q? z cm q? sin t ? 2 cos z t q? z m q? z m
t ?0
3

(14)

x t ?0 ? 0 ,

y t ?0 ? 0 , v x

? vx0 , v y

t ?0

? v y0

本科毕业论文 代入式(12)~(14) 得

cx0 ?

m vy 0 q? z



c y0 ? ? ? m vy 0 q? z

m q? z

Ey ? ? ? ? vx0 ? ? ? ? z ? ?



c1 ? v y 0 ,

c2 ? v x 0 ?

Ey ?z
(15)

x?

Ey ?z

t?

m vy 0 q? z

cos

q? z m t? m q? z

E y ? q? z ? ? ? sin v ? t x 0 ? ?z ? m ? ? Ey ? ? ? ? v ? x 0 ? ? ? z ? ?

y?

m vy 0 q? z

sin

q? z m t? m q? z

Ey ? ? q? z m ? ? v ? cos t? x 0 ? ? ?z ? m q? z ?
t ?0

(16)

根据式(8)和初始条件 z t ?0 = 0, vz

? vz 0 得
(17)

z ? vz 0t ?

1 qEz 2 t 2 m

式(15) , (16)和(17)即为带电粒子在均匀电磁场中的运动方程。 根据以上分析得到的结果, 在一般的情况下, 带电粒子在均匀电磁场中的运 动可以看成是 3 个运动的合运动。其中在 Z 轴上是一个匀加速直线运动;在 x y *面上是一个匀速圆周运动和一个沿 x 轴的匀速直线运动。图 2 中所示的螺旋 曲线是一般情况下带电粒子的运动轨迹。

图.2

在一些特殊条件下,带电粒子可能只叁与以上 3 个运动中的一到两个运动,下面 我们将分几种不同的情况进行讨论。 (1) 如果空间电场和磁场的方向互相*( E y ? 0 ) ,且带电粒子在 x y *面上

的分速度不为零,则粒子的运动可以看成是两个运动的合成,既在 z 轴方向的匀 加速直线运动和在 x y *面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图 3 所示。
(2)

如果空间电场和磁场的方向互相*( E y ? 0 ) ,且带电粒子在 x y *面上

的分速度为零,则粒子只有一个运动,既 沿 z 轴方向的匀加速直线运动。

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(3) 如果空间电场和磁场的方向互相垂直 ( E z? 0 ) ,带电粒子在 z 轴上的分速度不为零, 则粒子的运动仍然是 3 个运动的合成。其中在 z 轴 上的运动为一匀速直线运动;而在 x y *面上还是 一 个匀速圆周运动和一个沿 x 轴的匀速直线运动。 其运动轨迹如图 4 所示
(4)如果空间电场和磁场的方向互相垂直( E z ? 0 ) ,且带 图.3

电粒子在 z 轴上的分速度为零,则粒子的运动可以看成是 两个运动的合成。 既在 x 轴方向的匀速直线运动和而在 x y *面上的匀速圆周运动。其运动轨迹如图 5 所示。
(5)

如果空间电场和磁场的方向互相垂直( E z ? 0 ) ,

图.4

带电粒子在 y 轴和 z 轴上的分速度为零,且在 x 轴上的分 速度为 v x ?

Ey ?z

i ,则粒子只有一个运动。既沿 x 轴方向的

匀速直线运动。

图.5

4.带电粒子在非均匀,恒定磁场中的运动
以磁场中所考察的那一点作为坐标原点建立直角坐标系, 令 z 轴与原点上 B 的方向重合, 于是

Bx ? 0? = By ? 0? = 0

, Bz ? 0? =

B

由于磁场随空间缓慢地变化, 所以在原点附*除了有 Bz 分量以外, 还将出 现其它的分量. 每一个分量都 可随三个坐标 x , y , z 中的任一个而改变, 所以 需要9 个偏导数才能完全确定磁场在一点的空间变化率; 换句话说, 为了描述磁 场的不均匀性, 需要引入一个二阶张量磁场的空间梯度B ,把它写成矩阵形式就
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是:
? ?Bx ? ? ?x ? ?B ?B = ? x ?y ? ? ?Bx ? ? ?z ?By ?x ?By ?y ?By ?z ?Bz ? ? ?x ? ?Bz ? ? ? ? ?Bz ? ? ?z ?

5.带电粒子在非均匀磁场中的几种漂移
5.1 梯度漂移
令 z 轴*行于磁场, 设磁场随 x 而改变, 且
?B > 0. 在图6 中, 一个正粒 ?x

子将沿顺时针方向绕磁感应线 旋转. 当它画*氩糠止斓朗 , 总是由弱场地点 向强场地点运动, 回旋半径会越来越小; 相反地, 在画下半部 分轨道时, 则由强 场地点向弱场地点运动, 回旋半径会越来越大. 这样一来, 引导中心就会产生一 个沿 y 轴向 上的漂移. 对于负粒子来说, 因为回旋方向与正粒子相反, 所以将 沿着 y 轴向下漂移

图 .6

6

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图.7 现在来求磁场梯度引起的漂移速度 vDEG . 从粒子回旋轨道的对称性看到, 粒子 每完成一个回旋时, 它在x 方向的力学状态(坐标、 动量) 就恢复原状, 就是运动 方程
m v? q ( v ? )B ? yq v ?? ? B x
x .

(18)

在一个回旋上, 例如图 6 的 1、2 两点之间, 积分将等于零, 即

t2

q t2 q t2 = = v dt v B x dt B?x ?dy = 0 ? ? y ? x m? m? t1 t1 t1

(19)

这里 t1 , t2 是粒子经过1 、2两点的时间, y1 , y2 是两点的 y 坐标. 把B ( x) 对 原点作泰勒展开, 略去高次项以后,有
?B x ?x
y2

B? x ? = B +

(20)

其中 B 是原点处的磁感强度. 以式(19) 代入式(20) , 整理后可得:
1 ?B y2 ? y1 ? ? B ?x

? xdy ? B ?x ? r
y1

1 ?B

2

(21)

其中 y2 ? y1 表示在一个回旋周期 Tc = 式右方时, 假设
1 ?B 是合缓变条件 | B ?x

2?

?c

内引导中心沿y 方向的位移. 计算上 < < B 的小量, 粒子回旋

rc · ? B |

y2 轨道可*似看成圆, 因此积分∫ ? dy 等于拉莫尔圆所围面积- πr2c , 这里负号 y1

是因为正粒子拉莫尔圆所围面积按右手螺旋规则应为负值。
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根据以上结果, 求得正、负粒子梯度漂移速度为:

v
写成

DBG

?

??
qB
3

B ?? B ?

?
qB 2

B ?? B

(22)

梯度漂移速度取决于粒子的性质 ,正、负粒子将沿相反方向漂移 ,式(22) 可以改

v DEG ?
矩。

? ??? B ? ? B
qB 2
BG

(23) 是粒子的轨道磁

由此可以认为梯度漂移是由力 F

? ? ?? B 所引起的,这里 ?

5.2 曲率漂移
磁场的不均匀性除表现为梯度以外,一般还有磁场的弯曲。梯度相当于横 向不均匀性,而弯曲则相当于纵向不均匀。 假设磁场弯曲时轻微的,即满足缓变条件 rc ? ? B << B ,于是磁感应线曲率 半径 R 将远大于粒子回旋半径

r

c

,而带电粒子在弯曲磁场中的运动仍可看成是

绕一个动点的回旋,不过这个动点现在已 v 的素的沿曲线运动者。在以它作为原 点的坐标系,带电粒子将感受到一个惯性离心力 FBC
FBC ? mv??2 R R2

(24)

的作用,根据? D ?

F?B 知,这个力将使引导中心产生一个漂移速度: qB 2
(25)

v DBC ?

mv??2 2??? 2??? ?B ?B R ? B ? R ? B ? B ? ? ?? ? 2 2 2 2 2 qB R qB R qB ?B ?B

叫做曲率漂移速度,正,负将粒子将沿相反方向进行漂移,式(25)的最后一步 用到了曲率向量式

R ?B ?B ? ? ? ?? ? 2 R ?B ?B

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?B ?B ? 如果研究的点不存在在电流,即 ? ? B ? 0 ,并假设 ? ? ? ? B ? = 0,则式(25) ?z ?B ?

可以简化为

v

? DBC

2? ?? B ? ?B qB 3

(26)

在此情形下,合并式(22)和式(26) ,可得总磁漂移速度

v DB ? v DBG ? v DBC ?

?? ? 2???
qB3

2 ? mv? mv??2 ? B ?? B ? ? ? R? B 2 2 2 2 ? ? 2qB R 2qB R ?

(27)

这种漂移在环形磁场约束等离子体重视要努力克服的。

6.结论
根据以上的讨论我们可以看出带电粒子在非均匀磁场中的运动, 对于研究等 离子体的应用是很有必要的. 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动由两部分组成: 一部分是沿磁感应线的(纵向)匀速直线运动; 另一部分是环绕磁感应线的( 横向) 匀速圆周运动. 这两部分合起来就是使带电粒子沿磁感应线作螺旋运动.在这个 基础上,推导出带电粒子在非均匀恒定磁场中的梯度漂移速度和曲率漂移速度。

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7.叁考文献:
[1] Alven H, Falthammar C G . 电动力学。戴世强译 北京:科学出版社 1987 1981 1974

[2] 许敖敖,唐玉华。电动力学导论。北京:高等教育出版社 [3] 徐家鸾,金尚宪。等离子体物理学。北京:原子能出版社

[4] 彭国贤,气体放电------等离子体物理应用 上海:知识出版社 1988 [5] 马腾才,胡希伟。陈银华。等离子体物理原理 合肥:中国科技大学出版社 [6] 赵凯华·陈熙谋·电磁学·[M]北京:高等教育出版社 [7] 金佑民,樊友三。低温等离子体物理基础 北京:清华大学出版社 1983 [8] 赵凯华·陈熙谋·电磁学(新概念物理教程) ·[M]北京:高等教育出版社 [9] 周衍柏 理论力学教程 高等教育出版社 1986 年 1988

[10] 胡秋友 刘之景 《电磁学》(M)

北京.高等教育出版社(1994 年)出版

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